微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x y + y}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ を $x y + y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y}$

ステップ 1.1.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y^{1}}$

ステップ 1.1.3

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y \cdot 1}$

ステップ 1.1.4

$y$ を $y x + y \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{y}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{y^{2} + 1}{y}$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

ステップ 1.4.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

ステップ 1.4.3

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

ステップ 1.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 1}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = y^{2} + 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y^{2} + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 y + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $y^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u_{2} = x + 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \ln (| x + 1 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| y^{2} + 1 |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

ステップ 3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) = 2 C$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| x + 1 |)$ を簡約します。

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 C$

ステップ 3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x + 1 |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 C$

ステップ 3.4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$

ステップ 3.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}})} = e^{2 C}$

ステップ 3.6

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C} = \frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

方程式を $\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$ として書き換えます。

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$

ステップ 3.7.2

両辺に ${(x + 1)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

ステップ 3.7.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

ステップ 3.7.3.1.2

式を書き換えます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

ステップ 3.7.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1

$e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1.1

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} ((x + 1) (x + 1))$

ステップ 3.7.4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

ステップ 3.7.4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

ステップ 3.7.4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 3.7.4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 3.7.4.1.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 3.7.4.1.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

ステップ 3.7.4.1.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1)$

ステップ 3.7.4.1.3.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 1)$

ステップ 3.7.4.1.4

分配則を当てはめます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (2 x) + e^{2 C} \cdot 1$

ステップ 3.7.4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 1$

ステップ 3.7.4.1.5.2

$e^{2 C}$ に $1$ をかけます。

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$

ステップ 3.7.4.1.6

$e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$ の因数を並べ替えます。

$| y^{2} + 1 | = x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}$

ステップ 3.7.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y^{2} + 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C})$

ステップ 3.7.4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y^{2} = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

ステップ 3.7.4.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} C + 2 x C + C) - 1}$

微分積分 例

微分積分例