微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{- y}}{1 + x^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{e^{- y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y})$

ステップ 1.3

$e^{- y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$e^{- y}$ を $\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{- y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{- y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.3.1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$e^{y} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ を展開します。

$y = \ln (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

ステップ 3.4

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ を簡約します。

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

微分積分 例

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