微分積分例

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = 4$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$x$ を $\frac{2 x}{t}$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = 4$

ステップ 1.2

$x$ と $\frac{2}{t}$ を並べ替えます。

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = 4$

ステップ 2

$P (t) = \frac{2}{t}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

ステップ 2.2

$\frac{2}{t}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{t}$ の $t$ に関する積分は $\ln (| t |)$ です。

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (t)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (t^{2})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$t^{2}$

ステップ 3

各項に積分因数 $t^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $t^{2}$ を掛けます。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \cdot 4$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{2}{t}$ と $x$ をまとめます。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

ステップ 3.2.2

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \cdot 4$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \cdot 4$

ステップ 3.3

$4$ を $t^{2}$ の左に移動させます。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t^{2}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t^{2}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t^{2} d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

$t^{2} x = \int 4 t^{2} d t$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$t^{2} x = 4 \int t^{2} d t$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

ステップ 7.3

答えを簡約します。

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ステップ 7.3.1

$4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ を $4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ に書き換えます。

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

ステップ 7.3.2

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$

ステップ 8

$t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ の各項を $t^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ の各項を $t^{2}$ で割ります。

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$t^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$t^{3}$ と $t^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

$t^{2}$ を $\frac{4}{3} t^{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{\frac{4}{3} t}{1} + \frac{C}{t^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2.4

$\frac{4}{3} t$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{3} t + \frac{C}{t^{2}}$

ステップ 8.3.1.2

$\frac{4}{3}$ と $t$ をまとめます。

$x = \frac{4 t}{3} + \frac{C}{t^{2}}$

微分積分 例

微分積分例