微分積分例

$(y + 1) e^{x} d x - (e^{x} + 1) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(y + 1) e^{x} d x$ を引きます。

$- (e^{x} + 1) d y = - (y + 1) e^{x} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (e^{x} + 1)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3.2

$e^{x} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3.5

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3.5.2

$y + 1$ を $(e^{x} + 1) (y + 1)$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3.5.3

$y + 1$ を $(y + 1) e^{x}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

ステップ 3.5.4

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

ステップ 3.5.5

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

ステップ 3.6

$\frac{- 1}{e^{x} + 1}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 4.2.2

$u_{1} = y + 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$u_{1} = y + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.2.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 4.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 4.2.2.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.2.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 4.2.4

簡約します。

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 4.2.5

$u_{1}$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 4.3.2

$u_{2} = e^{x} + 1$ とします。次に $d u_{2} = e^{x} d x$ すると、 $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$u_{2} = e^{x} + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$e^{x} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 4.3.2.1.2

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.2.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} + 0$

ステップ 4.3.2.1.4.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x}$

ステップ 4.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.3

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 4.3.4

簡約します。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 4.3.5

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x} + 1$ で置き換えます。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例