微分積分例

$(13 + x) \frac{d y}{d x} = 2 y$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$(13 + x) \frac{d y}{d x} = 2 y$ の各項を $13 + x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$(13 + x) \frac{d y}{d x} = 2 y$ の各項を $13 + x$ で割ります。

$\frac{(13 + x) \frac{d y}{d x}}{13 + x} = \frac{2 y}{13 + x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$13 + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(13 + x) \frac{d y}{d x}}{13 + x} = \frac{2 y}{13 + x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{13 + x}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{13 + x}$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{13 + x}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{13 + x}$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{13 + x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{13 + x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{13 + x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{13 + x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{13 + x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 13 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 13 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$13 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [13 + x]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $13 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$13$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $13$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.3.2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u$ のすべての発生を $13 + x$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| 13 + x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = 2 \ln (| 13 + x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 13 + x |) = C$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 13 + x |)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| 13 + x |)$ を簡約します。

$\ln (| y |) - \ln ({| 13 + x |}^{2}) = C$

ステップ 3.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| 13 + x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| y |) - \ln ({(13 + x)}^{2}) = C$

ステップ 3.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}}) = C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}})} = e^{C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}} = e^{C}$

ステップ 3.5.2

両辺に ${(13 + x)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}} {(13 + x)}^{2} = e^{C} {(13 + x)}^{2}$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

${(13 + x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{{(13 + x)}^{2}} {(13 + x)}^{2} = e^{C} {(13 + x)}^{2}$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{C} {(13 + x)}^{2}$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

$e^{C} {(13 + x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1.1

${(13 + x)}^{2}$ を $(13 + x) (13 + x)$ に書き換えます。

$| y | = e^{C} ((13 + x) (13 + x))$

ステップ 3.5.4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(13 + x) (13 + x)$ を展開します。

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ステップ 3.5.4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$| y | = e^{C} (13 (13 + x) + x (13 + x))$

ステップ 3.5.4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$| y | = e^{C} (13 \cdot 13 + 13 x + x (13 + x))$

ステップ 3.5.4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$| y | = e^{C} (13 \cdot 13 + 13 x + x \cdot 13 + x \cdot x)$

ステップ 3.5.4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.5.4.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1.3.1.1

$13$ に $13$ をかけます。

$| y | = e^{C} (169 + 13 x + x \cdot 13 + x \cdot x)$

ステップ 3.5.4.1.3.1.2

$13$ を $x$ の左に移動させます。

$| y | = e^{C} (169 + 13 x + 13 \cdot x + x \cdot x)$

ステップ 3.5.4.1.3.1.3

$x$ に $x$ をかけます。

$| y | = e^{C} (169 + 13 x + 13 x + x^{2})$

ステップ 3.5.4.1.3.2

$13 x$ と $13 x$ をたし算します。

$| y | = e^{C} (169 + 26 x + x^{2})$

ステップ 3.5.4.1.4

分配則を当てはめます。

$| y | = e^{C} \cdot 169 + e^{C} (26 x) + e^{C} x^{2}$

ステップ 3.5.4.1.5

簡約します。

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ステップ 3.5.4.1.5.1

$169$ を $e^{C}$ の左に移動させます。

$| y | = 169 \cdot e^{C} + e^{C} (26 x) + e^{C} x^{2}$

ステップ 3.5.4.1.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$| y | = 169 \cdot e^{C} + 26 e^{C} x + e^{C} x^{2}$

ステップ 3.5.4.1.6

$169 e^{C} + 26 e^{C} x + e^{C} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$| y | = 169 e^{C} + 26 x e^{C} + x^{2} e^{C}$

ステップ 3.5.4.1.7

$169 e^{C}$ を移動させます。

$| y | = 26 x e^{C} + x^{2} e^{C} + 169 e^{C}$

ステップ 3.5.4.1.8

$26 x e^{C}$ と $x^{2} e^{C}$ を並べ替えます。

$| y | = x^{2} e^{C} + 26 x e^{C} + 169 e^{C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 26 x e^{C} + 169 e^{C})$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \pm (x^{2} C + 26 x C + C)$

微分積分 例

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