微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数 $\frac{e^{x} - y}{x}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $\frac{- y}{x}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 1.2

$y$ を $- \frac{- y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 1.3

$y$ と $- \frac{- 1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{- 1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{- 1}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.1.3

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 3

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.2.3

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.2.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- \frac{y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.2.4.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.2.4.3

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.2.4.4

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.2.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 3.3.2

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x y = \int e^{x} d x$

ステップ 7

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$x y = e^{x} + C$

ステップ 8

$x y = e^{x} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x y = e^{x} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

微分積分例