微分積分例

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(2 x + Y) d x$ を引きます。

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{2 Y + x}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$2 Y + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

ステップ 3.4

$- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

ステップ 3.4.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 Y + x}$ をまとめます。

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

ステップ 3.4.3

$\frac{- 2}{2 Y + x}$ と $x$ をまとめます。

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

ステップ 3.5

$Y$ と $\frac{1}{2 Y + x}$ をまとめます。

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

ステップ 3.7

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

ステップ 3.8

$- 1$ を $- Y$ で因数分解します。

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

ステップ 3.9

$- 1$ を $- (2 x) - (Y)$ で因数分解します。

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

ステップ 3.10

$- (2 x + Y)$ を $- 1 (2 x + Y)$ に書き換えます。

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

ステップ 3.11

分数の前に負数を移動させます。

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

ステップ 4.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

ステップ 4.3.2

$u = 2 Y + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$u = 2 Y + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.2.1.1

$2 Y + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

ステップ 4.3.2.1.2

総和則では、 $2 Y + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.2.1.3

$2 Y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 Y$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.3.2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

ステップ 4.3.3

分数を複数の分数に分割します。

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

ステップ 4.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.5

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.6

分数を複数の分数に分割します。

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.7

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.8

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.8.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.8.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.9

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.11

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.12

$2 Y$ は $u$ に対して定数なので、 $2 Y$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.13

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

ステップ 4.3.15

$Y$ は $u$ に対して定数なので、 $Y$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 4.3.16

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

ステップ 4.3.17

簡約します。

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ステップ 4.3.17.1

簡約します。

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.17.2

$- 4 Y \ln (| u |)$ と $Y \ln (| u |)$ をたし算します。

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.18

$u$ のすべての発生を $2 Y + x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.19

簡約します。

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ステップ 4.3.19.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.1.1

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.19.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.19.2

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.19.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.19.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.19.3.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

ステップ 4.3.20

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$

微分積分 例

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