微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12$ , $y (1) = 24$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (7 x^{6} - 4 x^{3} + 12) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{7} x^{7}$ です。

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.4

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 12 d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 12 d x$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1.1

$\frac{1}{7}$ と $x^{7}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

ステップ 2.3.7.1.2

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

$y + C_{1} = x^{7} - x^{4} + 12 x + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ の $1$ を $x$ に、 $24$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$24 = 1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$ として書き換えます。

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

ステップ 4.2

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

ステップ 4.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

ステップ 4.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

ステップ 4.2.1.4

$12$ に $1$ をかけます。

$1 - 1 + 12 + K = 24$

ステップ 4.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$0 + 12 + K = 24$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $12$ をたし算します。

$12 + K = 24$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$K = 24 - 12$

ステップ 4.3.2

$24$ から $12$ を引きます。

$K = 12$

ステップ 5

$12$ を $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$12$ を $K$ に代入します。

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + 12$

微分積分 例

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