微分積分例

$\frac{d A}{d t} = 0.07 A$ , $A (0) = 100$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{A}$ を掛けます。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{A} (0.07 A)$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 0.07 \frac{1}{A} A$

ステップ 1.2.2

$0.07$ と $\frac{1}{A}$ をまとめます。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{0.07}{A} A$

ステップ 1.2.3

$A$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{0.07}{A} A$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 0.07$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{A} d A = 0.07 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{A} d A = \int 0.07 d t$

ステップ 2.2

$\frac{1}{A}$ の $A$ に関する積分は $\ln (| A |)$ です。

$\ln (| A |) + C_{1} = \int 0.07 d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| A |) + C_{1} = 0.07 t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| A |) = 0.07 t + C$

ステップ 3

$A$ について解きます。

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ステップ 3.1

$A$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| A |)} = e^{0.07 t + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| A |) = 0.07 t + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0.07 t + C} = | A |$

ステップ 3.3

$A$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| A | = e^{0.07 t + C}$ として書き換えます。

$| A | = e^{0.07 t + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$A = \pm e^{0.07 t + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{0.07 t + C}$ を $e^{0.07 t} e^{C}$ に書き換えます。

$A = \pm e^{0.07 t} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{0.07 t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$A = \pm e^{C} e^{0.07 t}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$A = C e^{0.07 t}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $A = C e^{0.07 t}$ の $0$ を $t$ に、 $100$ を $A$ に代入し $C$ の値を求めます。

$100 = C e^{0.07 \cdot 0}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{0.07 \cdot 0} = 100$ として書き換えます。

$C e^{0.07 \cdot 0} = 100$

ステップ 6.2

$C e^{0.07 \cdot 0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$0.07$ に $0$ をかけます。

$C e^{0} = 100$

ステップ 6.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$C \cdot 1 = 100$

ステップ 6.2.3

$C$ に $1$ をかけます。

$C = 100$

ステップ 7

$100$ を $A = C e^{0.07 t}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$100$ を $C$ に代入します。

$A = 100 e^{0.07 t}$

微分積分 例

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