微分積分例

$(2 x + e^{y}) d x + x e^{y} d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x + e^{y}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + e^{y}]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x + e^{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 1.2.2

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{y}$

ステップ 1.4

$0$ と $e^{y}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}$

ステップ 2

$N (x, y) = x e^{y}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

ステップ 2.2

$e^{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x e^{y}$ の微分係数は $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1$

ステップ 2.4

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$e^{y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $e^{y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$e^{y} = e^{y}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$e^{y} = e^{y}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x e^{y} d y$

ステップ 5

$N (x, y) = x e^{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x \int e^{y} d y$

ステップ 5.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$f (x, y) = x (e^{y} + C)$

ステップ 5.3

簡約します。

$f (x, y) = x e^{y} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x e^{y} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + e^{y}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + g (x)] = 2 x + e^{y}$

ステップ 8.2

総和則では、 $x e^{y} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$e^{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x e^{y}$ の微分係数は $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

ステップ 8.3.3

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$e^{y} + \frac{d g}{d x} = 2 x + e^{y}$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = 2 x + e^{y}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 x + e^{y} - e^{y}$

ステップ 9.1.2

$2 x + e^{y} - e^{y}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$e^{y}$ から $e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

ステップ 9.1.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

ステップ 10

$2 x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 2 x d x$

ステップ 10.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 2 \int x d x$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

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ステップ 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

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ステップ 10.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (x) = 1 x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (x) = x^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = x e^{y} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x e^{y} + x^{2} + C$

微分積分 例

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