微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x} y = e^{- 2 x}$

ステップ 1

$P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{2 x + 1}{x}$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2.4

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

ステップ 1.2.6

簡約します。

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x + \ln (x)}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{2 x + \ln (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{2 x + \ln (x)}$ を掛けます。

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} (\frac{2 x + 1}{x} y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{2 x + 1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.2.2

$e^{2 x + \ln (x)}$ と $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ をまとめます。

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.3

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$e^{2 x + \ln (x)}$ を $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.1.1

$e^{2 x + \ln (x)}$ を $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.5.1.2

$e^{2 x + \ln (x)}$ を $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.5.1.3

$e^{2 x + \ln (x)}$ を $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.5.3

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

ステップ 2.6

指数を足して $e^{2 x + \ln (x)}$ に $e^{- 2 x}$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

ステップ 2.6.2

$2 x + \ln (x) - 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.6.2.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

ステップ 2.6.2.2

$0$ と $\ln (x)$ をたし算します。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

ステップ 2.7

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

ステップ 2.8

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 7

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $e^{2 x + \ln (x)}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $e^{2 x + \ln (x)}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{2 x + \ln (x)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

ステップ 7.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

ステップ 7.3.1.3

まとめる。

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

ステップ 7.3.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

微分積分 例

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