微分積分例

$\frac{d v}{d t} = \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d v = (\frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d v = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.2

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ の $t$ に関する積分は $\arctan (t) + C_{2}$ です。

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.5

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$v + C_{1} = 8 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ の $0$ を $t$ に、 $2$ を $v$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = 8 \arctan (0) + \tan (0) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$ として書き換えます。

$8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$8 \arctan (0) + \tan (0) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$8 \cdot 0 + \tan (0) + K = 2$

ステップ 4.2.1.1.2

$8$ に $0$ をかけます。

$0 + \tan (0) + K = 2$

ステップ 4.2.1.1.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + 0 + K = 2$

ステップ 4.2.1.2

$0 + 0 + K$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.1.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + K = 2$

ステップ 4.2.1.2.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 2$

ステップ 5

$2$ を $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ を $K$ に代入します。

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + 2$

微分積分 例

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