微分積分例

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ の各項を $x^{2} + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ の各項を $x^{2} + 1$ で割ります。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} y$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 1} y)$

ステップ 1.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$y$ を $\frac{x}{x^{2} + 1} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| x^{2} + 1 |)$ をまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

ステップ 3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.3

$\ln (| y |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\ln (| y |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.5

$2$ を $\ln (| y |)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.6

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.6.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.6.1.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2} = C$

ステップ 3.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}) = C$

ステップ 3.6.1.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ を簡約します。

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.4

積の法則を $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}$ に当てはめます。

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.5.1

${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.6.1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.2

簡約します。

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.7

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

ステップ 3.8

対数の定義を利用して $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.9

$y$ について解きます。

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ステップ 3.9.1

方程式を $\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

ステップ 3.9.2

両辺に ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.9.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.9.3.1

${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.9.3.1.2

式を書き換えます。

$y = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ として書き換えます。

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$

ステップ 6.2

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ の各項を ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ の各項を ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ で割ります。

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$C = \frac{1}{{| 0 + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.3.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$C = \frac{1}{{| 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.3.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$C = \frac{1}{1^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.3.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$C = \frac{1}{1}$

ステップ 6.2.3.2

$1$ を $1$ で割ります。

$C = 1$

ステップ 7

$1$ を $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ を $C$ に代入します。

$y = 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.2

${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$y = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

微分積分 例

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