微分積分例

$x^{2} (y d) y - (x + 1) (y + 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $(x + 1) (y + 1) d x$ を足します。

$x^{2} y d y = (x + 1) (y + 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2}$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y)) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y + 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

ステップ 3.3

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$y + 1$ を $x^{2} (y + 1)$ で因数分解します。

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d x$

ステップ 3.3.2

$y + 1$ を $(x + 1) (y + 1)$ で因数分解します。

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x^{2}}$ に $x + 1$ をかけます。

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$y$ を $y + 1$ で割ります。

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ステップ 4.2.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$1$

$y$

$0$

ステップ 4.2.1.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

ステップ 4.2.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

ステップ 4.2.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

ステップ 4.2.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

ステップ 4.2.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.5

$u = y + 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.5.1

$u = y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.5.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.5.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 4.2.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 4.2.5.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.2.5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.7

簡約します。

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.8

$u$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.2

$(x + 1) x^{- 2}$ を掛けます。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3

簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.3.1.1

$x$ に $x^{- 2}$ をかけます。

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ステップ 4.3.3.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.5

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

ステップ 4.3.7

簡約します。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

ステップ 4.3.8

項を並べ替えます。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y - \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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