微分積分例

$\frac{d p}{d t} = t^{2} p - 3 p + t^{2} - 3$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} p - 3 p) + t^{2} - 3$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d p}{d t} = p (t^{2} - 3) + 1 (t^{2} - 3)$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $t^{2} - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} - 3) (p + 1)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{p + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((t^{2} - 3) (p + 1))$

ステップ 1.3

$p + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$p + 1$ を $(t^{2} - 3) (p + 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) (t^{2} - 3))$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) (t^{2} - 3))$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - 3$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{p + 1} d p = (t^{2} - 3) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{p + 1} d p = \int t^{2} - 3 d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = p + 1$ とします。次に $d u = d p$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = p + 1$ とします。 $\frac{d u}{d p}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$p + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d p} [p + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $p + 1$ の $p$ に関する積分は $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$ です。

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ は $n p^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d p} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $p$ について定数なので、 $p$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int t^{2} - 3 d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int t^{2} - 3 d t$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $p + 1$ で置き換えます。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} - 3 d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 3 d t$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 3 d t$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 3 t + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C$

ステップ 3

$p$ について解きます。

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ステップ 3.1

$p$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| p + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C} = | p + 1 |$

ステップ 3.3

$p$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$ として書き換えます。

$| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{3}$ と $t^{3}$ をまとめます。

$| p + 1 | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$p + 1 = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C} - 1$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$ を $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} e^{C}$ に書き換えます。

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} e^{C} - 1$

ステップ 4.2

$e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$p = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} - 1$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$p = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} - 1$

微分積分 例

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