微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{2}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ として書き換えます。

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

ステップ 3.4

方程式を $\tan (\arctan (y) - K) = x$ として書き換えます。

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

ステップ 3.5

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $\arctan (y)$ を取り出します。

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

ステップ 3.6

方程式の両辺に $K$ を足します。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

ステップ 3.7

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

ステップ 3.8

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

ステップ 3.9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $\arctan (y)$ を取り出します。

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

ステップ 3.10

方程式の両辺に $K$ を足します。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

ステップ 3.11

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

微分積分 例

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