微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2} e^{y}$ , $y (1) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{e^{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} ({(x + 2)}^{2} e^{y})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

$e^{y}$ を ${(x + 2)}^{2} e^{y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

ステップ 1.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

ステップ 1.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1.2.2

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = (x + 2) (x + 2)$

ステップ 1.2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 1.2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

ステップ 1.2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

ステップ 1.2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

ステップ 1.2.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

ステップ 1.2.4.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

ステップ 1.2.4.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

ステップ 1.2.4.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x + 4$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{y}} d y = (x^{2} + 4 x + 4) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2.1.2.1.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\int 1 e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2.2

$u = - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$- y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$- e^{u} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x + \int 4 d x$

ステップ 2.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x + \int 4 d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 4 d x$

ステップ 2.3.5

定数の法則を当てはめます。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

ステップ 2.3.6.3

項を並べ替えます。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$e^{- y}$ を $1$ で割ります。

$e^{- y} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$\frac{2 x^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{- y} = - 1 \cdot (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.2

$- 1 \cdot (2 x^{2})$ を $- (2 x^{2})$ に書き換えます。

$e^{- y} = - (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- y} = - 2 x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.4

$\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.5

$- 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3})$ を $- (\frac{1}{3} x^{3})$ に書き換えます。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.6

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.7

$\frac{4 x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 1 \cdot (4 x) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.8

$- 1 \cdot (4 x)$ を $- (4 x)$ に書き換えます。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - (4 x) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.9

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.10

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - 1 \cdot K$

ステップ 3.1.3.1.11

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- y}) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

ステップ 3.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.3.1

$- y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- y})$ を展開します。

$- y \ln (e) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

ステップ 3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- y \cdot 1 = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

ステップ 3.4

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$\frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

ステップ 3.4.3.2

$- 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ を $- \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ に書き換えます。

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ の $1$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = - \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ として書き換えます。

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$

ステップ 6.2

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.1.2

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)$ を $1$ で割ります。

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\ln (- 2 \cdot 1 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\ln (- 2 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\ln (- 2 - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.3

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\ln (- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.4

$- 2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.2.6.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\ln (\frac{- 6 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.6.2

$- 6$ から $1$ を引きます。

$\ln (\frac{- 7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.8

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.9

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\ln (- \frac{7}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\ln (\frac{- 7 - 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.11

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.2.11.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\ln (\frac{- 7 - 12}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.11.2

$- 7$ から $12$ を引きます。

$\ln (\frac{- 19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$

ステップ 6.3

$K$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (- \frac{19}{3} + K)} = e^{0}$

ステップ 6.4

対数の定義を利用して $\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = - \frac{19}{3} + K$

ステップ 6.5

$K$ について解きます。

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ステップ 6.5.1

方程式を $- \frac{19}{3} + K = e^{0}$ として書き換えます。

$- \frac{19}{3} + K = e^{0}$

ステップ 6.5.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{19}{3} + K = 1$

ステップ 6.5.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.1

方程式の両辺に $\frac{19}{3}$ を足します。

$K = 1 + \frac{19}{3}$

ステップ 6.5.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$K = \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

ステップ 6.5.3.3

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{3 + 19}{3}$

ステップ 6.5.3.4

$3$ と $19$ をたし算します。

$K = \frac{22}{3}$

ステップ 7

$\frac{22}{3}$ を $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{22}{3}$ を $K$ に代入します。

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{22}{3})$

微分積分 例

微分積分例