微分積分例

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t y}{t^{2} + 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1} y$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (\frac{8 t}{t^{2} + 1} y)$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$y$ を $\frac{8 t}{t^{2} + 1} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 2.3.2

$u = t^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 t d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u = t^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$t^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.3.2.1.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 t + 0$

ステップ 2.3.2.1.5

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$2 t$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.5.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $t^{2} + 1$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |) = C$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ を簡約します。

$\ln (| y |) - \ln ({| t^{2} + 1 |}^{4}) = C$

ステップ 3.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| t^{2} + 1 |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| y |) - \ln ({(t^{2} + 1)}^{4}) = C$

ステップ 3.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}})} = e^{C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$

ステップ 3.5.2

両辺に ${(t^{2} + 1)}^{4}$ を掛けます。

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

${(t^{2} + 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1

二項定理を利用します。

$| y | = e^{C} ({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.2.1.1

${(t^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| y | = e^{C} (t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.2

${(t^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{2 \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.4

${(t^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{2 \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1 + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.6

$6$ に $1$ をかけます。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.8

$4$ に $1$ をかけます。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1^{4})$

ステップ 3.5.4.1.2.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1)$

ステップ 3.5.4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$| y | = e^{C} t^{8} + e^{C} (4 t^{6}) + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

ステップ 3.5.4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

ステップ 3.5.4.1.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

ステップ 3.5.4.1.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C} \cdot 1$

ステップ 3.5.4.1.3.4

$e^{C}$ に $1$ をかけます。

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$

ステップ 3.5.4.1.4

$e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$ の因数を並べ替えます。

$| y | = t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm (t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C})$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \pm (t^{8} C + 4 t^{6} C + 6 t^{4} C + 4 t^{2} C + C)$

微分積分 例

微分積分例