微分積分例

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x - 2 y - 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y - 1]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x - 2 y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 1.2.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

ステップ 1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

ステップ 1.5.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

ステップ 2

$N (x, y) = - (x - 3)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x - 3)]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x - 3)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x - 3]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 = - 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 2 = - 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 2 + 1}{N}$

ステップ 4.3

$- (x - 3)$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- (x - 3)$ を $N$ に代入します。

$\frac{- 2 + 1}{- (x - 3)}$

ステップ 4.3.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1}{- (x - 3)}$

ステップ 4.3.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{1}{x - 3}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = x - 3$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$u = x - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$x - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 5.1.1.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5.1.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

ステップ 5.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | u | + C$

ステップ 5.5

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$μ (x, y) = | x - 3 | + C$

ステップ 6

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$ の両辺に積分因子 $x - 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x - 2 y - 1$ に $x - 3$ をかけます。

$(x - 2 y - 1) (x - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 2 y - 1) (x - 3)$ を展開します。

$(x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$(x^{2} - 3 \cdot x - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.3.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.3.5

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.4

$- 3 x$ から $x$ を引きます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.5

$- (x - 3)$ に $x - 3$ をかけます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.6

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x - - 3) (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.7

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x + 3) (x - 3) d y = 0$

ステップ 6.8

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x (x - 3) + 3 (x - 3)) d y = 0$

ステップ 6.8.2

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) d y = 0$

ステップ 6.8.3

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

ステップ 6.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1.1.1

$x$ を移動させます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

ステップ 6.9.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

ステップ 6.9.1.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

ステップ 6.9.1.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x - 9) d y = 0$

ステップ 6.9.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 6 x - 9) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - x^{2} + 6 x - 9 d y$

ステップ 8

$N (x, y) = - x^{2} + 6 x - 9$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.2

総和則では、 $(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $(- x^{2} + 6 x - 9) y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9]$ です。

$y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3.2

総和則では、 $- x^{2} + 6 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$y (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$y (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (- (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3.5

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y (- (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3.7

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y (- 2 x + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3.9

$6$ に $1$ をかけます。

$y (- 2 x + 6 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.3.10

$- 2 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$y (- 2 x + 6) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (- 2 x + 6) + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$y (- 2 x) + y \cdot 6 + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.5.2

$6$ を $y$ の左に移動させます。

$y (- 2 x) + 6 y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺に $2 x y$ を足します。

$\frac{d g}{d x} + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $6 y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

ステップ 12.1.3

$x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$- 2 y x$ と $2 x y$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 x y + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

ステップ 12.1.3.2

$- 2 x y$ と $2 x y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 + 0 - 6 y$

ステップ 12.1.3.3

$x^{2} - 4 x + 6 y + 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 - 6 y$

ステップ 12.1.3.4

$6 y$ から $6 y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 0 + 3$

ステップ 12.1.3.5

$x^{2} - 4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 13

$x^{2} - 4 x + 3$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

ステップ 13.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

ステップ 13.5

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

ステップ 13.6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

ステップ 13.7

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

ステップ 13.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

ステップ 13.9

簡約します。

$g (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

ステップ 13.10

項を並べ替えます。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

ステップ 14

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

ステップ 15.2

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

微分積分 例

微分積分例