微分積分例

$(4 x^{2} + 2 y^{2}) d x - (x y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 4 x^{2} + 2 y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2} + 2 y^{2}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x^{2} + 2 y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$4 x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $4 x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (2 y)$

ステップ 1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 y$

ステップ 1.4

$0$ と $4 y$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

ステップ 2

$N (x, y) = - (x y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x y)]$

ステップ 2.2

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

ステップ 2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$4 y = - y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$4 y = - y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$4 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$- y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{4 y - - y}{N}$

ステップ 4.3

$- (x y)$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- (x y)$ を $N$ に代入します。

$\frac{4 y - - y}{- (x y)}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$y$ を $4 y - - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$y$ を $4 y$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot 4 - - y}{- x y}$

ステップ 4.3.2.1.2

$y$ を $- - y$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot 4 + y (- - 1)}{- x y}$

ステップ 4.3.2.1.3

$y$ を $y \cdot 4 + y (- - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y (4 - - 1)}{- x y}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y (4 + 1)}{- x y}$

ステップ 4.3.2.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

ステップ 4.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{- x}$

ステップ 4.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{5}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

ステップ 5.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 5.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 5$ を移動させて $- 5 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 5})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 5} + C$

ステップ 5.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{5}} + C$

ステップ 6

$(4 x^{2} + 2 y^{2}) d x - (x y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{5}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$4 x^{2} + 2 y^{2}$ に $\frac{1}{x^{5}}$ をかけます。

$(4 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

ステップ 6.2

$4 x^{2} + 2 y^{2}$ に $\frac{1}{x^{5}}$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

ステップ 6.3

$2$ を $4 x^{2} + 2 y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$2$ を $2 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$2$ を $2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

ステップ 6.4

$- (x y)$ に $\frac{1}{x^{5}}$ をかけます。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - (x y) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

ステップ 6.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x$ を $- (x y)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- (y)) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- (y)) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

ステップ 6.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- (y)) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

ステップ 6.5.4

式を書き換えます。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - (y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 6.6

$\frac{1}{x^{4}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - \frac{y}{x^{4}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = - \frac{y}{x^{4}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \int \frac{y}{x^{4}} d y$

ステップ 8.2

$\frac{1}{x^{4}}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{x^{4}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{4}} \int y d y)$

ステップ 8.3

括弧を削除します。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \int y d y$

ステップ 8.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$- \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{1}{2 x^{4}} y^{2} + C$

ステップ 8.5.2.2

$y^{2}$ と $\frac{1}{2 x^{4}}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$- \frac{y^{2}}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}$ の微分係数は $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$- \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.8

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.9

$4$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.10

$\frac{4 y^{2}}{2}$ と $x^{- 5}$ をまとめます。

$\frac{4 y^{2} x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 5}$ を分母に移動させます。

$\frac{4 y^{2}}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.12

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.12.1

$2$ を $4 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.12.2.1

$2$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.3.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} - \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

$2 y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2} + 0}{x^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- 4 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1

$x^{2}$ と $x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1.1

$x^{2}$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{4}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $\frac{4}{x^{3}}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$

ステップ 13

$\frac{4}{x^{3}}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 13.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 13.4

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$g (x) = 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 13.5

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (x) = 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 13.5.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = 4 \int x^{- 3} d x$

ステップ 13.6

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

ステップ 13.7

答えを簡約します。

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ステップ 13.7.1

簡約します。

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ステップ 13.7.1.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

ステップ 13.7.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

ステップ 13.7.2

簡約します。

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

ステップ 13.7.3

簡約します。

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ステップ 13.7.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$g (x) = - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 13.7.3.2

$- 4$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

ステップ 13.7.3.3

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.7.3.3.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

ステップ 13.7.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.7.3.3.2.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

ステップ 13.7.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

ステップ 13.7.3.3.2.3

式を書き換えます。

$g (x) = \frac{- 2}{x^{2}} + C$

ステップ 13.7.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$g (x) = - \frac{2}{x^{2}} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} - \frac{2}{x^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例