微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{3} \cos^{2} (x)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (4 y^{3} \cos^{2} (x))$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

ステップ 1.2.2

$4$ と $\frac{1}{y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

ステップ 1.2.3

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$y^{3}$ を $y^{3} \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} (\cos^{2} (x)))$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \cos^{2} (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} d y = 4 \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 3} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- 3}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ です。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.3.2

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

ステップ 2.3.4

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 2.3.4.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 2.3.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 2.3.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 2.3.4.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 2.3.4.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 2.3.5

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 2.3.7

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.7.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3.7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 2.3.8

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 2.3.9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 2.3.10

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

ステップ 2.3.11

簡約します。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

ステップ 2.3.12

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

ステップ 2.3.13

簡約します。

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ステップ 2.3.13.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

ステップ 2.3.13.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.13.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.13.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.13.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + \sin (2 x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y^{2}, 1, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 y^{2}$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ の各項に $2 y^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ の各項に $2 y^{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{2 y^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = 2 \cdot 2 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 1 = 4 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$

ステップ 3.2.3.2

$4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$ として書き換えます。

$4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

ステップ 3.3.2

$2 y^{2}$ を $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2 y^{2}$ を $4 x y^{2}$ で因数分解します。

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$2 y^{2}$ を $2 y^{2} \sin (2 x)$ で因数分解します。

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$2 y^{2}$ を $2 K y^{2}$ で因数分解します。

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

ステップ 3.3.2.4

$2 y^{2}$ を $2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x)$ で因数分解します。

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K = - 1$

ステップ 3.3.2.5

$2 y^{2}$ を $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K$ で因数分解します。

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$

ステップ 3.3.3

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ の各項を $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ の各項を $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ で割ります。

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

ステップ 3.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

ステップ 3.3.3.2.2

$2 x + \sin (2 x) + K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

ステップ 3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

ステップ 3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。