微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 - x}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{3}{2 - x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{3}{2 - x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 - x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{2 - x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 2 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 2 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.3.2.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

$- 1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{- 1}{u} d u$

$y + C_{1} = 3 \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = - 3 (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$y + C_{1} = - 3 \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $2 - x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - 3 \ln (| 2 - x |) + C_{2}$

$y + C_{1} = - 3 \ln (| 2 - x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = - 3 \ln (| 2 - x |) + C$

$y = - 3 \ln (| 2 - x |) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$