微分積分例

$\frac{d y}{d t} = 8 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (8 t + 6 t^{2}) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 8 t d t + \int 6 t^{2} d t$

ステップ 2.3.2

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 8 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

ステップ 2.3.4

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$8$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.3

$6$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.4.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.4.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 4 t^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ の $1$ を $t$ に、 $2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$ として書き換えます。

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

ステップ 4.2

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

ステップ 4.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

ステップ 4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 + 4 \cdot 1 + K = 2$

ステップ 4.2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$2 + 4 + K = 2$

ステップ 4.2.2

$2$ と $4$ をたし算します。

$6 + K = 2$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$K = 2 - 6$

ステップ 4.3.2

$2$ から $6$ を引きます。

$K = - 4$

ステップ 5

$- 4$ を $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 4$ を $K$ に代入します。

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} - 4$

微分積分 例

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