微分積分例

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d w}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{\sqrt{w}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

ステップ 1.4

$\sqrt{w}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{w}$ を $w^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2

$w^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.3

${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $w^{- \frac{1}{2}}$ の $w$ に関する積分は $2 w^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.2

$(8 x + 1) x^{- 2}$ を掛けます。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.3.1.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.1.2

$x^{- 2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.3.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.1.3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.5

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.6

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3}$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{4}$

ステップ 2.3.9

項を並べ替えます。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$w$ について解きます。

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ステップ 3.1

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$w^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.3

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.1.3.1

$2$ を $8 \ln (| x |)$ で因数分解します。

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.1.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{4 \ln (| x |)}{1} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.3.2.4

$4 \ln (| x |)$ を $1$ で割ります。

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + 4 \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.4

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$w^{1} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.2

簡約します。

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + C)}^{2}$

微分積分 例

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