微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 7 x \sqrt{2 y + 20}$ , $y (0) = 5$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (7 x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.2

$2$ を $2 y + 20$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y) + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.2.2

$2$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 2 \cdot 10}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.2.3

$2$ を $2 y + 2 \cdot 10$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ に $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 (\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}) (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ に $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.2

$\sqrt{2 (y + 10)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.3

$\sqrt{2 (y + 10)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.6

${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ を $2 (y + 10)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (y + 10)}$ を ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.4.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.5

$7$ と $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

ステップ 1.2.6

$2$ を $2 y + 20$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y) + 20})$

ステップ 1.2.6.2

$2$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 2 \cdot 10})$

ステップ 1.2.6.3

$2$ を $2 y + 2 \cdot 10$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$

ステップ 1.2.7

$\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$x$ と $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.7.2

$\frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)}$ と $\sqrt{2 (y + 10)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)}) \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.7.3

$\sqrt{2 (y + 10)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}))}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.7.4

$\sqrt{2 (y + 10)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}))}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.7.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1})}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.7.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{2})}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ を $2 (y + 10)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (y + 10)}$ を ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{1}}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.1.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.3

$2$ に $10$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 20)}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.4

$2$ を $2 y + 20$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.4.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y) + 20)}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.4.2

$2$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.4.3

$2$ を $2 y + 2 \cdot 10$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 \cdot 2 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.8.5

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 14 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.9

$14$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$2$ を $x \cdot 14 (y + 10)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

ステップ 1.2.9.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

ステップ 1.2.10

$y + 10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

ステップ 1.2.10.2

$x \cdot 7$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 7$

ステップ 1.2.11

$7$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = 7 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = \int 7 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u = 2 y + 20$ とします。次に $d u = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u = 2 y + 20$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$2 y + 20$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y + 20]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $2 y + 20$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$ です。

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [20]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [20]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d y} [20]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.4.1

$20$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ を $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.6.2.2.2

式を書き換えます。

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.6.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $2 y + 20$ で置き換えます。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

$7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 y + 20)}^{1} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

簡約します。

$2 y + 20 = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

${(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

$\frac{7}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 y + 20 = {(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

${(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$ を $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ に書き換えます。

$2 y + 20 = (\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} (\frac{7 x^{2}}{2} + K) + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.1

まとめる。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2} (7 x^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 y + 20 = \frac{7 (x^{2} x^{2}) \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2 + 2} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{4} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.3

$7$ に $7$ をかけます。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.5

$\frac{7 x^{2}}{2}$ と $K$ をまとめます。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.6

$K$ と $\frac{7 x^{2}}{2}$ をまとめます。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{K (7 x^{2})}{2} + K (K)$

ステップ 3.2.2.1.3.1.7

$7$ を $K$ の左に移動させます。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 \cdot K x^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.8

$K$ に $K$ をかけます。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$\frac{7 x^{2} K}{2}$ と $\frac{7 K x^{2}}{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.2.2

$\frac{7 K x^{2}}{2}$ と $\frac{7 K x^{2}}{2}$ をたし算します。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

ステップ 3.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

ステップ 3.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2}$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$

ステップ 3.3.2

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{49 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

ステップ 3.3.2.3.1.2

まとめる。

$y = \frac{49 x^{4} \cdot 1}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

ステップ 3.3.2.3.1.3

$49$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{49 x^{4}}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

ステップ 3.3.2.3.1.4

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

ステップ 3.3.2.3.1.5

$- 20$ を $2$ で割ります。

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} - 10$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ の $0$ を $x$ に、 $5$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$5 = \frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$ として書き換えます。

$\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

ステップ 6.2

$\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{49 \cdot 0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

ステップ 6.2.1.2

$49$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

ステップ 6.2.1.3

$0$ を $8$ で割ります。

$0 + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

ステップ 6.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + \frac{K \cdot 0}{2} + K = 5$

ステップ 6.2.1.5

$K$ に $0$ をかけます。

$0 + \frac{0}{2} + K = 5$

ステップ 6.2.1.6

$0$ を $2$ で割ります。

$0 + 0 + K = 5$

ステップ 6.2.2

$0 + 0 + K$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + K = 5$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 5$

ステップ 7

$5$ を $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$5$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{5 x^{2}}{2} + K$

微分積分 例

微分積分例