微分積分例

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $e^{5 x} y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = e^{5 x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 1.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 1.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

ステップ 1.6

$5$ に $1$ をかけます。

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

ステップ 1.7

$5$ を $e^{5 x}$ の左に移動させます。

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

ステップ 1.8

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

ステップ 1.9

括弧を削除します。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

ステップ 1.10

$y$ と $5$ を並べ替えます。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$u = 8 x$ とします。次に $d u = 8 d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1.1

$u = 8 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1.1

$8 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 5.1.1.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \cdot 1$

ステップ 5.1.1.4

$8$ に $1$ をかけます。

$8$

ステップ 5.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

ステップ 5.2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

ステップ 5.3

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

ステップ 5.4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

簡約します。

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

ステップ 5.5.2

$\frac{1}{8}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

ステップ 5.6

$u$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

ステップ 5.7

項を並べ替えます。

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

ステップ 6

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ の各項を $e^{5 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ の各項を $e^{5 x}$ で割ります。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$e^{5 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\cos (8 x)$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 6.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 6.3.1.3

$\frac{1}{e^{5 x}}$ に $\frac{\cos (8 x)}{8}$ をかけます。

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 6.3.1.4

$8$ を $e^{5 x}$ の左に移動させます。

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

微分積分 例

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