微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

ステップ 1.2.2

まとめる。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

ステップ 1.2.3

$\sqrt{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$\sqrt{y}$ を $4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

ステップ 1.2.4

$\cos^{2} (\sqrt{y})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$\cos^{2} (\sqrt{y})$ を $4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

ステップ 1.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

ステップ 1.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4}$

ステップ 1.2.5

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{4} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$1$ を掛けます。

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.1.2

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.1.3

$\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ を $\sec^{2} (\sqrt{y})$ に変換します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.1.4

$\sqrt{y}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.1.5

$\frac{1}{\sqrt{y}}$ と $\sec^{2} (\sqrt{y})$ をまとめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.2.3

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.2.4

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.2.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.3

$u = y^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ すると、 $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$u = y^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$y^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2.3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 2.2.3.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2.3.1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.4

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.5

$\tan (u)$ の微分係数が $\sec^{2} (u)$ なので、 $\sec^{2} (u)$ の積分は $\tan (u)$ です。

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $y^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{4} x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\tan (y^{\frac{1}{2}})$ を $1$ で割ります。

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.3

$\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.3.1

$\frac{x}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

$u$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

$\tan (u) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3

$\frac{x}{8}$ と $\frac{K}{2}$ を並べ替えます。

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{8}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $u$ を取り出します。

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

ステップ 3.5

$y^{\frac{1}{2}}$ を $u$ に代入し $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$ を解く

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

ステップ 3.5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

ステップ 3.5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

ステップ 3.5.2.1.2

簡約します。

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = {\arctan (K + \frac{x}{8})}^{2}$

微分積分 例

微分積分例