微分積分例

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $8 x y^{3} d x$ を引きます。

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

ステップ 3.2

$12$ と $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

ステップ 3.3

$x^{2} y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x^{2} y^{2}$ を $x^{2} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.5

$- 8$ と $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.6

$x y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x y^{3}$ を $x^{2} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

ステップ 3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$12$ は $y$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4.3.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

対数の中の $12$ を移動させて $12 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{12}$ の絶対値を削除します。

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.3

対数の中の $8$ を移動させて $8 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

ステップ 5.2.1.1.4

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{8}$ の絶対値を削除します。

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

ステップ 5.2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

ステップ 5.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

ステップ 5.5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $y^{12} x^{8} = e^{C}$ として書き換えます。

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

ステップ 5.5.2

$y^{12} x^{8} = e^{C}$ の各項を $x^{8}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$y^{12} x^{8} = e^{C}$ の各項を $x^{8}$ で割ります。

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$x^{8}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.2.2.1.2

$y^{12}$ を $1$ で割ります。

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

ステップ 5.5.4

$\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.4.1

$\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ を $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

ステップ 5.5.4.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.4.2.1

$x^{8}$ を ${(x^{2})}^{4}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

ステップ 5.5.4.2.2

$\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ を $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

ステップ 5.5.4.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 5.5.4.3

$\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 5.5.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.5.4.4.1

$\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 5.5.4.4.2

$\sqrt[3]{x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 5.5.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.5.4.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

ステップ 5.5.4.4.5

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ を $x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.5.4.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.5.4.4.5.3

$\frac{2}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 5.5.4.4.5.4

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

ステップ 5.5.4.4.5.5

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.4.5.5.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

ステップ 5.5.4.4.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.4.5.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

ステップ 5.5.4.4.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

ステップ 5.5.4.4.5.5.2.3

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

ステップ 5.5.4.4.5.5.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.5.1

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5.3

$x^{3}$ を因数分解します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5.5

指数をまとめます。

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ステップ 5.5.4.5.5.1

最小共通指数 $12$ を利用して式を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.5.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5.5.1.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $x^{\frac{4}{12}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5.5.1.3

$x^{\frac{4}{12}}$ を $\sqrt[12]{x^{4}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.5.5.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.5.4.6.1

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.6.1.1

$x$ を $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ で因数分解します。

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.4.6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.4.6.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

ステップ 5.5.4.6.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

ステップ 5.5.4.6.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

ステップ 5.5.4.6.2

$\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

ステップ 5.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。