微分積分例

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x} = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d f}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} + e^{x} = 1$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$

ステップ 1.1.3

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 1.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$\frac{d f}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$e^{2 x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{- x}}{1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.4

$- e^{- x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d f = (\frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d f = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} d x + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.2

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$e^{2 x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$f + C_{1} = \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.2.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

${(e^{2 x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f + C_{1} = \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f + C_{1} = \int 1 e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

$e^{- 2 x}$ に $1$ をかけます。

$f + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.3

$u_{1} = - 2 x$ とします。次に $d u_{1} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.3.1

$u_{1} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.3.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.3.3.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 2.3.3.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 2.3.3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.4

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.4.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f + C_{1} = \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$f + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.7

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{- x} d x$

ステップ 2.3.8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{- x} d x$

ステップ 2.3.9

$u_{2} = - x$ とします。次に $d u_{2} = - d x$ すると、 $- d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.9.1

$u_{2} = - x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.9.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.9.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.9.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.3.9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.10

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.11

簡約します。

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ステップ 2.3.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.11.2

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.12

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + e^{u_{2}} + C_{3}$

ステップ 2.3.13

簡約します。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C_{4}$

ステップ 2.3.14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 2.3.14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{u_{2}} + C_{4}$

ステップ 2.3.14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$f = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + K$

微分積分 例

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