微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $1 + y^{2}$ を掛けます。

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

ステップ 1.2

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(1 + y^{2}) d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 1 + y^{2} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int y^{2} d y = \int d x$

ステップ 2.2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int y^{2} d y = \int d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$y + C_{1} + \frac{1}{3} y^{3} + C_{2} = \int d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$y + \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int d x$

ステップ 2.2.5

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + y = x + K$

微分積分 例

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