微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x} - \frac{2}{x}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (\sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C$

微分積分 例