微分積分例

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $a$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 1 + \frac{x}{b}$ とします。次に $d u = \frac{1}{b} d x$ すると、 $b d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 1 + \frac{x}{b}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$1 + \frac{x}{b}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

ステップ 2.3.2.1.2

微分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

総和則では、 $1 + \frac{x}{b}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

ステップ 2.3.2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$\frac{1}{b}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{b}$ の微分係数は $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$\frac{1}{b}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{1}{b}$

ステップ 2.3.2.1.4

$0$ と $\frac{1}{b}$ をたし算します。

$\frac{1}{b}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{b}$ で割ります。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

ステップ 2.3.3.2

$b$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

ステップ 2.3.3.3

$\frac{1}{u^{2}}$ と $b$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

ステップ 2.3.4

$b$ は $u$ に対して定数なので、 $b$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

ステップ 2.3.5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.5.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$a b (- u^{- 1} + C_{2})$ を $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$a$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$b$ と $\frac{a}{u}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $1 + \frac{x}{b}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$b a \frac{b}{b + x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.1.3.1

$b$ と $\frac{b}{b + x}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3.2

$b$ を $1$ 乗します。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3.3

$b$ を $1$ 乗します。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3.6

$a$ と $\frac{b^{2}}{b + x}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{b + x}{b + x}$ を掛けます。

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

ステップ 3.2.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

ステップ 3.2.2.1.4

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

ステップ 3.2.2.1.5

項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.5.1

$2$ と $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

ステップ 3.2.2.1.5.2

$- 1$ を $- a b^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

ステップ 3.2.2.1.5.3

$- 1$ を $K b$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

ステップ 3.2.2.1.5.4

$- 1$ を $- (a b^{2}) - (- K b)$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

ステップ 3.2.2.1.5.5

$- 1$ を $K x$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

ステップ 3.2.2.1.5.6

$- 1$ を $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

ステップ 3.2.2.1.5.7

式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.5.7.1

$- (a b^{2} - K b - K x)$ を $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ に書き換えます。

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

ステップ 3.2.2.1.5.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

微分積分 例

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