微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ に $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 1.2

$\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ に $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 1.4

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 1.5

$y^{3}$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 1.6

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$x^{2}$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 1.6.2

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 1.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 1.6.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 1.7

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 1.8

商の法則 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ の累乗を利用します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{3}}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{3}}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{3} + V^{3}}$

ステップ 6.1.1.1.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = V$ です。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1^{2} - 1 V + V^{2})}$

ステップ 6.1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - 1 V + V^{2})}$

ステップ 6.1.1.1.3.2

$- 1 V$ を $- V$ に書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$

ステップ 6.1.1.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.1

$V$ を $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.1.1

$V$ を $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.1.2

$V$ を $- V$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.1.3

$V$ を $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1)}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.3

$- 1$ と $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + \frac{- ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 1 - V) (1 - V + V^{2})$ を展開します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.2

$- 1 (- V)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.2.2

$V$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.3

$- 1 V^{2}$ を $- V^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.6

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.6.1

$V$ を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.6.2

$V$ に $V$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.8

$V^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.9

指数を足して $V$ に $V^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.9.1

$V^{2}$ を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V)}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2

$V^{2}$ に $V$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.1

$V$ を $1$ 乗します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V^{1})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{2 + 1}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.5

$- 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.5.1

$V$ から $V$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + 0 + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.5.2

$- 1 - V^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.5.3

$- V^{2}$ と $V^{2}$ をたし算します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.5.4

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.6

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.7

$0$ から $V^{3}$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{- V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1 \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.7.1

負をくくり出します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (V \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.7.2

$V$ と $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.7.3

指数を足して $V$ に $V^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.7.3.1

$V$ に $V^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.7.3.1.1

$V$ を $1$ 乗します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1} V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.7.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1 + 3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.7.3.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4

$\frac{1}{x}$ に $\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{x (1 + V) (1 - V + V^{2})}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ を掛けます。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2

まとめる。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.3

$(1 + V) (1 - V + V^{2})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.3.1

$- \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.3.2

$(1 + V) (1 - V + V^{2})$ を $- (1 + V) (1 - V + V^{2})$ で因数分解します。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.3.3

$(1 + V) (1 - V + V^{2})$ を $(1 + V) (1 - V + V^{2}) x$ で因数分解します。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (x)}$

ステップ 6.1.4.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) \cdot - 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.3.5

式を書き換えます。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

ステップ 6.1.4.4

$V^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.4.1

$V^{4}$ を $V^{4} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} (1)}{x}$

ステップ 6.1.4.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

ステップ 6.1.4.4.3

式を書き換えます。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$V^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) {(V^{4})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

${(V^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{4 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$(1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$\int (1 (1 - V + V^{2}) + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2

分配則を当てはめます。

$\int (1 (1 - V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.3

分配則を当てはめます。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.4

分配則を当てはめます。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.5

分配則を当てはめます。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.6

分配則を当てはめます。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2}) V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.7

分配則を当てはめます。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.8

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.9

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.10

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + V \cdot 1 V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.11

$V$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.12

$V$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.13

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.14

$V^{- 4}$ に $1$ をかけます。

$\int V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int V^{- 4} - V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.16

負をくくり出します。

$\int V^{- 4} - (V \cdot V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.17

$V$ を $1$ 乗します。

$\int V^{- 4} - (V^{1} V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 4} - V^{1 - 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.19

$1$ から $4$ を引きます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.20

$V^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2 - 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.22

$2$ から $4$ を引きます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.23

$V$ に $1$ をかけます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.24

$V$ を $1$ 乗します。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1} V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.25

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1 - 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.26

$1$ から $4$ を引きます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.27

負をくくり出します。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V \cdot V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.28

$V$ を $1$ 乗します。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.29

$V$ を $1$ 乗します。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V^{1}) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.30

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{1 + 1} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.31

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.32

負をくくり出します。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{2} V^{- 4}) + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.33

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2 - 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.34

$2$ から $4$ を引きます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.35

$V$ を $1$ 乗します。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.36

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 + 2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.37

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.38

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3 - 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.39

$3$ から $4$ を引きます。

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.40

$V^{- 4}$ と $- V^{- 3}$ を並べ替えます。

$\int - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.41

$V^{- 4}$ を移動させます。

$\int - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.42

$- V^{- 3}$ と $V^{- 2}$ を並べ替えます。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.43

$V^{- 3}$ と $- V^{- 2}$ を並べ替えます。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.44

$V^{- 3}$ を移動させます。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.45

$- V^{- 2}$ と $V^{- 1}$ を並べ替えます。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.46

$V^{- 4}$ を移動させます。

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.47

$- V^{- 3}$ を移動させます。

$\int V^{- 2} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.48

$V^{- 2}$ と $V^{- 1}$ を並べ替えます。

$\int V^{- 1} + V^{- 2} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.49

$V^{- 2}$ から $V^{- 2}$ を引きます。

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.50

$V^{- 1}$ と $0$ をたし算します。

$\int V^{- 1} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.51

$V^{- 3}$ から $V^{- 3}$ を引きます。

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.52

$V^{- 1}$ と $0$ をたし算します。

$\int V^{- 1} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int V^{- 1} d V + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

$V^{- 1}$ の $V$ に関する積分は $\ln (| V |)$ です。

$\ln (| V |) + C_{1} + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

べき乗則では、 $V^{- 4}$ の $V$ に関する積分は $- \frac{1}{3} V^{- 3}$ です。

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{3} V^{- 3} + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.7.1

簡約します。

$\ln (| V |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.7.2.1

$\frac{1}{V^{3}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\ln (| V |) - \frac{1}{V^{3} \cdot 3} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7.2.2

$3$ を $V^{3}$ の左に移動させます。

$\ln (| V |) - \frac{1}{3 V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.8

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

ステップ 6.2.3.3

簡約します。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 8

$y$ について $- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

ステップ 8.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

ステップ 8.3

$| \frac{y}{x} | | x |$ を掛けます。

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ステップ 8.3.1

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

ステップ 8.3.2

$\frac{y}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

ステップ 8.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

ステップ 8.4.2

$y$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

ステップ 8.5

各項を簡約します。

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ステップ 8.5.1

積の法則を $\frac{y}{x}$ に当てはめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 (\frac{y^{3}}{x^{3}})} + C$

ステップ 8.5.2

$3$ と $\frac{y^{3}}{x^{3}}$ をまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{3 y^{3}}{x^{3}}} + C$

ステップ 8.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{3}}{3 y^{3}}) + C$

ステップ 8.5.4

$\frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例