微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{y}{2 + 3 y}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{2 + 3 y}{y}$ を掛けます。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{y}{2 + 3 y}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

ステップ 1.4.2

$2 + 3 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$2 + 3 y$ を $(2 + 3 y) x$ で因数分解します。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.4.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3.2

$3$ を $1$ で割ります。

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

定数の法則を当てはめます。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.8

項を並べ替えます。

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例