微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = 5 y + 2 x^{3} - x$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $5 y$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$

ステップ 1.2

$x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.4

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.4.2.5

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

ステップ 1.5.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} - 1$

ステップ 1.6

$y$ を $\frac{- 5 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 5}{x} = 2 x^{2} - 1$

ステップ 1.7

$y$ と $\frac{- 5}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5}{x} y = 2 x^{2} - 1$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 5}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 5}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 5}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

ステップ 2.2.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 2.2.4

$5$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 5 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 5})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 5}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{5}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{5}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x^{5}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{5}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.2.4

$\frac{5}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$\frac{5 y}{x}$ に $\frac{1}{x^{5}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.2.5.2

指数を足して $x$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$x$ に $x^{5}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.2.5.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.2.5.2.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = 2 \frac{1}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.3.2

$2$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.3.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{2}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

ステップ 3.3.4

$\frac{1}{x^{5}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{5}}$

ステップ 3.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] d x = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7.3.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7.3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7.4

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7.7

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 7.7.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.7.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 5} d x$

ステップ 7.8

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

ステップ 7.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1.1

$x^{- 4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

ステップ 7.9.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

ステップ 7.9.2

簡約します。

$\frac{1}{x^{5}} y = \frac{- 1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

ステップ 7.9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

ステップ 7.9.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + 1 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

ステップ 7.9.3.3

$\frac{1}{4 x^{4}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

方程式の両辺に $\frac{1}{x^{2}}$ を足します。

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4 x^{4}} + C$

ステップ 8.1.2

方程式の両辺から $\frac{1}{4 x^{4}}$ を引きます。

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} = C$

ステップ 8.1.3

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

ステップ 8.1.4

$\frac{1}{x^{5}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{5}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

ステップ 8.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{x^{2}}$ を引きます。

$\frac{y}{x^{5}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺に $\frac{1}{4 x^{4}}$ を足します。

$\frac{y}{x^{5}} - C = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}}$

ステップ 8.2.3

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{y}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x^{5}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{- 1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.2.1.2

$x^{2}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.2.1.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.2.1.4

式を書き換えます。

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.2.2

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.2.1

$x^{4}$ を $4 x^{4}$ で因数分解します。

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} x^{5} + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.2

$x^{4}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.4

式を書き換えます。

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4} x + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.2.3

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y = - 1 x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.3

$- 1 x^{3}$ を $- x^{3}$ に書き換えます。

$y = - x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

ステップ 8.4.2.1.4

$\frac{x}{4}$ を移動させます。

$y = - x^{3} + C x^{5} + \frac{x}{4}$

ステップ 8.4.2.1.5

$- x^{3}$ と $C x^{5}$ を並べ替えます。

$y = C x^{5} - x^{3} + \frac{x}{4}$

微分積分 例

微分積分例