微分積分例

$\frac{d C}{d x} = \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d C = \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d C = \int \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

ステップ 2.2

書き換えます。

$C = \int \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$C = 12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 12 x + 1$ とします。次に $d u = 12 d x$ すると、 $\frac{1}{12} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 12 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$12 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [12 x + 1]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $12 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$12 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$12 + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$12$ と $0$ をたし算します。

$12$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$C = 12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{12} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ に $\frac{1}{12}$ をかけます。

$C = 12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 12} d u$

ステップ 2.3.3.2

$12$ を $\sqrt[3]{u}$ の左に移動させます。

$C = 12 \int \frac{1}{12 \sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{12}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$C = 12 (\frac{1}{12} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1.1

$\frac{1}{12}$ と $12$ をまとめます。

$C = \frac{12}{12} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$C = \frac{12}{12} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2

式を書き換えます。

$C = 1 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 2.3.5.1.3

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$ に $1$ をかけます。

$C = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 2.3.5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$C = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

$u^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$C = \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.3

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$C = \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$C = \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

ステップ 2.3.5.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$C = \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ です。

$C = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $12 x + 1$ で置き換えます。

$C = \frac{3}{2} {(12 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$C = \frac{3}{2} {(12 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + K$

微分積分 例

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