微分積分例

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \frac{1}{y}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

ステップ 1.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

ステップ 1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 2

$N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

ステップ 2.4

$3 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 2.6

$- \frac{1}{y^{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{y^{2}}$ の微分係数は $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.7

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

ステップ 2.9

$\frac{1}{y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{1}{y^{2}}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\frac{1}{y^{2}}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{y^{2}}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$- \frac{1}{y^{2}}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{y}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{1}{y}$ を $M$ に代入します。

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

ステップ 4.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

ステップ 4.3.3

$- - \frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

ステップ 4.3.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

ステップ 4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{y^{2}} y$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{y}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2}{y \cdot y} y$

ステップ 4.3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{y \cdot y} y$

ステップ 4.3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

ステップ 5.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

ステップ 5.4.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{2} + C$

ステップ 6

$\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $y^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{y}$ に $y^{2}$ をかけます。

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

ステップ 6.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

ステップ 6.3

$- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ に $y^{2}$ をかけます。

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

ステップ 6.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

ステップ 6.6

$- - \frac{x}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

ステップ 6.6.2

$\frac{x}{y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

ステップ 6.7

分配則を当てはめます。

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.8

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.8.1

$y^{2}$ を移動させます。

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.8.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 6.8.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.8.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.9

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.9.1

共通因数を約分します。

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.9.2

式を書き換えます。

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y d x$

ステップ 8

$M (x, y) = y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

ステップ 11.2

総和則では、 $y x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [y x]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

ステップ 11.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

ステップ 11.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

ステップ 12.1.2

$- 3 y^{3} + x - x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

ステップ 12.1.2.2

$- 3 y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

ステップ 13

$- 3 y^{3}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

ステップ 13.3

$- 3$ は $y$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

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ステップ 13.5.1

$- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ を $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ に書き換えます。

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

ステップ 13.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = y x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

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ステップ 15.1

$y^{4}$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

ステップ 15.2

$3$ を $y^{4}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$

微分積分 例

微分積分例