微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$

ステップ 1.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y^{2}$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{8 x^{3}}{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{8}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{8}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \int x^{3} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ を $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{8}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{12} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$8$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 (2)}{12} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.3.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{2}{3} x^{4} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (\frac{2 x^{4}}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 2 x^{4} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 3 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$

微分積分 例

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