微分積分例

$\frac{x^{2}}{y} = 4 y \frac{d y}{d x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺を入れ替え、左辺に $\frac{d y}{d x}$ を得ます。

$4 y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = x^{2}$

ステップ 1.4

不要な括弧を削除します。

$y \cdot 4 y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y \cdot 4 y d y = x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y \cdot 4 y d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$\int 4 \cdot y \cdot y d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\int 4 (y^{1} y) d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\int 4 (y^{1} y^{1}) d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 4 y^{1 + 1} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 4 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ を $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ に書き換えます。

$4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.4.2

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{4}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{3}{4}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3}) = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{4}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

まとめる。

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.4.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{x^{3}}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{4} K$

ステップ 3.2.2.1.3

まとめる。

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} K$

ステップ 3.2.2.1.4

$\frac{3}{4}$ と $K$ をまとめます。

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

ステップ 3.2.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.5.1

共通因数を約分します。

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

ステップ 3.2.2.1.5.2

式を書き換えます。

$y^{3} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$

ステップ 3.4.2

$\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 3.4.3

$\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.4.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 3.4.4.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.4.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.4.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.4.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 3.4.4.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 3.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.5.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

ステップ 3.4.5.2

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

ステップ 3.4.5.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

ステップ 3.4.5.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.5.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

ステップ 3.4.5.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.4.6.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.6.1.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.6.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.6.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.6.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$

ステップ 3.4.6.2

$\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + 3 K)}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + K)}}{2}$

微分積分 例

微分積分例