微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 10 x - 9$ と $y (5) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (10 x - 9) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 10 x - 9 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 10 x - 9 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 10 x d x + \int - 9 d x$

ステップ 2.3.2

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 10 \int x d x + \int - 9 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 10 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$y + C_{1} = 5 x^{2} - 9 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 5 x^{2} - 9 x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ の $5$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = 5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$ として書き換えます。

$5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

ステップ 4.2

$5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

指数を足して $5$ に $5^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$5$ に $5^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1.1

$5$ を $1$ 乗します。

$5^{1} \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

ステップ 4.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5^{1 + 2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

ステップ 4.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$5^{3} - 9 \cdot 5 + K = 0$

ステップ 4.2.1.2

$5$ を $3$ 乗します。

$125 - 9 \cdot 5 + K = 0$

ステップ 4.2.1.3

$- 9$ に $5$ をかけます。

$125 - 45 + K = 0$

ステップ 4.2.2

$125$ から $45$ を引きます。

$80 + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $80$ を引きます。

$K = - 80$

ステップ 5

$- 80$ を $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 80$ を $K$ に代入します。

$y = 5 x^{2} - 9 x - 80$

微分積分 例

微分積分例