微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{8 \sqrt{x}}$ , $y (25) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

ステップ 2.3.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.3.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 2.3.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$- \frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $- \frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3

$- 2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.3.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$ の $25$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = - \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$ として書き換えます。

$- \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

ステップ 4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

ステップ 4.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{1} + K = 0$

ステップ 4.2.4

指数を求めます。

$- \frac{1}{4} \cdot 5 + K = 0$

ステップ 4.2.5

$- \frac{1}{4} \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 4.2.5.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{1}{4}) + K = 0$

ステップ 4.2.5.2

$- 5$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{4} + K = 0$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{4} + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺に $\frac{5}{4}$ を足します。

$K = \frac{5}{4}$

ステップ 5

$\frac{5}{4}$ を $y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{5}{4}$ を $K$ に代入します。

$y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{4}$

ステップ 5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5}{4}$

微分積分 例

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