微分積分例

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

ステップ 1.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x (2 x^{2} + y^{2})$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

ステップ 1.3

総和則では、 $2 x^{2} + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 1.4

$2 x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 1.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

ステップ 1.7

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

ステップ 2

$N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

ステップ 2.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $y (x^{2} + 2 y^{2})$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{2} + 2 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

ステップ 2.5

$2 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

ステップ 2.6.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

ステップ 2.6.3

$2 y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x y = 2 x y$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 x y = 2 x y$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

ステップ 5

$M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x (2 x^{2} + y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

ステップ 5.1.2

括弧を削除します。

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

ステップ 5.1.3

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

ステップ 5.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

ステップ 5.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

ステップ 5.1.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

ステップ 5.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

ステップ 5.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

ステップ 5.4

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

ステップ 5.5

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $y^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

ステップ 5.6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 5.7

簡約します。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.8.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.8.2.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.8.3

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.8.4

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

ステップ 5.9

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.2.2

$\frac{1}{2} x^{4}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.3.3

$\frac{x^{2}}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.3.5

$2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.1

共通因数を約分します。

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.3.7.2

$x^{2} y$ を $1$ で割ります。

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$0$ と $x^{2} y$ をたし算します。

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 8.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$y (x^{2} + 2 y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 9.1.1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 9.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

ステップ 9.1.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

ステップ 9.1.1.5

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.5.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

ステップ 9.1.1.5.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.5.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

ステップ 9.1.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

ステップ 9.1.1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

方程式の両辺から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

ステップ 9.1.2.2

$y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.1

$y x^{2}$ と $- x^{2} y$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

ステップ 9.1.2.2.2

$x^{2} y$ から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

ステップ 9.1.2.2.3

$2 y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

ステップ 10

$2 y^{3}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

ステップ 10.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ を $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ に書き換えます。

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

ステップ 10.5.2.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

ステップ 12.2

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

ステップ 12.3

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

ステップ 12.4

$\frac{1}{2}$ と $y^{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例