微分積分例

$\frac{d y}{d x} + x e^{x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x e^{x}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = - x e^{x}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = - x e^{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - x e^{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - x e^{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

ステップ 2.3.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$y + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

微分積分 例