微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y^{3}$ を掛けます。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

ステップ 1.2

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3.1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

ステップ 2.3.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} y^{4})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ と $y^{4}$ をまとめます。

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

微分積分 例

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