微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

ステップ 1.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ の $0$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

ステップ 6.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

ステップ 6.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ を ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

ステップ 6.3.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

ステップ 6.3.2.1.3

$0$ と $K$ をたし算します。

$K^{1} = 2^{3}$

ステップ 6.3.2.1.4

簡約します。

$K = 2^{3}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$2$ を $3$ 乗します。

$K = 8$

ステップ 7

$8$ を $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$8$ を $K$ に代入します。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

ステップ 7.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

ステップ 7.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

ステップ 7.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

微分積分 例

微分積分例