微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 8$ , $y (- 1) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (8 x + 8) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 8 x + 8 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 8 x + 8 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 8 x d x + \int 8 d x$

ステップ 2.3.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 8 \int x d x + \int 8 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 8 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 8 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 8 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$y + C_{1} = 4 x^{2} + 8 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 4 x^{2} + 8 x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 4 x^{2} + 8 x + K$ の $- 1$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = 4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K = 0$ として書き換えます。

$4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K = 0$

ステップ 4.2

$4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$4 \cdot 1 + 8 \cdot - 1 + K = 0$

ステップ 4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 8 \cdot - 1 + K = 0$

ステップ 4.2.1.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$4 - 8 + K = 0$

ステップ 4.2.2

$4$ から $8$ を引きます。

$- 4 + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺に $4$ を足します。

$K = 4$

ステップ 5

$4$ を $y = 4 x^{2} + 8 x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ を $K$ に代入します。

$y = 4 x^{2} + 8 x + 4$

微分積分 例

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