微分積分例

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} y + 4 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.3.3

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.4

$4 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2 y x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

ステップ 2.5.2

$2 y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$0 = 2 x y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$0 = 2 x y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

ステップ 4.3

$x^{2} y + 4 y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x^{2} y + 4 y$ を $N$ に代入します。

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

ステップ 4.3.2.2

$0$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

ステップ 4.3.3

$y$ を $x^{2} y + 4 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

ステップ 4.3.3.2

$y$ を $4 y$ で因数分解します。

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

ステップ 4.3.3.3

$y$ を $y x^{2} + y \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

ステップ 4.3.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

ステップ 4.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

ステップ 5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

ステップ 5.4

$u = x^{2} + 4$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$u = x^{2} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$x^{2} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 5.4.1.2

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 5.4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 5.4.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 5.4.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 5.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

ステップ 5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

ステップ 5.5.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

ステップ 5.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

ステップ 5.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2.2.3

式を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 5.9

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

ステップ 5.10

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

ステップ 5.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

ステップ 5.11.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

ステップ 5.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

ステップ 6

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{2} + 4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ に $\frac{1}{x^{2} + 4}$ をかけます。

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{1}{x^{2} + 4}$ をまとめます。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

ステップ 6.3

$x^{2} y + 4 y$ に $\frac{1}{x^{2} + 4}$ をかけます。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

ステップ 6.4

$x^{2} y + 4 y$ に $\frac{1}{x^{2} + 4}$ をかけます。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

ステップ 6.5

$y$ を $x^{2} y + 4 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

ステップ 6.5.2

$y$ を $4 y$ で因数分解します。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

ステップ 6.5.3

$y$ を $y x^{2} + y \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

ステップ 6.6

$x^{2} + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

ステップ 6.6.2

$y$ を $1$ で割ります。

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y d y$

ステップ 8

$N (x, y) = y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

ステップ 11.3

$\frac{1}{2} y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{2} y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

ステップ 11.5

$0$ と $\frac{d g}{d x}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

ステップ 12

$\frac{x}{x^{2} + 4}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 12.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 12.3

$u = x^{2} + 4$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$u = x^{2} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1

$x^{2} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 12.3.1.2

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 12.3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 12.3.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 12.3.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 12.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 12.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 12.4.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

ステップ 12.4.3

$2$ に $u$ をかけます。

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 12.5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 12.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 12.7

簡約します。

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

ステップ 12.8

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

ステップ 13

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

ステップ 14.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ を簡約します。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 14.2

$\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 14.3

$\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 14.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 14.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

$\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1.1

$\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ と $2$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

ステップ 14.5.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

ステップ 14.5.2

${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

ステップ 14.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

ステップ 14.5.2.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

ステップ 14.5.3

簡約します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例