微分積分例

$\frac{d y}{d t} = 5 \sqrt{t}$ , $y (1) = 5$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 5 \sqrt{t} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 5 \sqrt{t} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 5 \sqrt{t} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 5 \int \sqrt{t} d t$

ステップ 2.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 5 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ です。

$y + C_{1} = 5 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$5 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ を $5 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 5 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$5$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$5$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ の $1$ を $t$ に、 $5$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$5 = \frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 5$ として書き換えます。

$\frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 5$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{10}{3} \cdot 1 + K = 5$

ステップ 4.2.2

$\frac{10}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{10}{3} + K = 5$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{10}{3}$ を引きます。

$K = 5 - \frac{10}{3}$

ステップ 4.3.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$K = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

ステップ 4.3.3

$5$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$K = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{5 \cdot 3 - 10}{3}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$5$ に $3$ をかけます。

$K = \frac{15 - 10}{3}$

ステップ 4.3.5.2

$15$ から $10$ を引きます。

$K = \frac{5}{3}$

ステップ 5

$\frac{5}{3}$ を $y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{5}{3}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2

$\frac{10}{3}$ と $t^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{5}{3}$

微分積分 例

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