微分積分例

$(2 x y^{3} + 1) d x + (3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + 1]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x y^{3} + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y^{3}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 0$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$6 x y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2}$

ステップ 1.5.2

$6 x y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x$

ステップ 2

$N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}]$

ステップ 2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$3 y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} y^{2}$ の微分係数は $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

ステップ 2.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

$- \frac{1}{y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{1}{y}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 0$

ステップ 2.5.2

$6 y^{2} x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$6 y^{2} x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $6 y^{2} x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} + 1 d x$

ステップ 5

$M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} d x + \int d x$

ステップ 5.2

$2 y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $2 y^{3}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 y^{3} \int x d x + \int d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

ステップ 5.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2} + x + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 8.2

総和則では、 $y^{3} x^{2} + x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{3} x^{2}$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 8.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 8.3.3

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 8.4

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 8.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 8.6

簡約します。

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ステップ 8.6.1

$3 x^{2} y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 8.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.2.1

方程式の両辺から $3 x^{2} y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 9.1.2.2

$3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.2.1

$3 x^{2} y^{2}$ から $3 x^{2} y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y} + 0$

ステップ 9.1.2.2.2

$- \frac{1}{y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

ステップ 10

$- \frac{1}{y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

ステップ 10.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 10.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

ステップ 10.5

簡約します。

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

ステップ 11

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x - \ln (| y |) + C$

微分積分 例

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