微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

ステップ 1

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

ステップ 2

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 3

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 4

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

ステップ 5

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 5.1

変数を分けます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

ステップ 5.1.1.1.2

$V + 2 - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

ステップ 5.1.1.1.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = 2$

ステップ 5.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = 2$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = 2$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

ステップ 5.1.2

方程式を書き換えます。

$d V = \frac{2}{x} d x$

ステップ 5.2

両辺を積分します。

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ステップ 5.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 5.2.2

定数の法則を当てはめます。

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 5.2.3

右辺を積分します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 5.2.3.3

簡約します。

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 5.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$V = 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 6

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$y$ について $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ を解きます。

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ステップ 7.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$(2 \ln (| x |) + C) x$ を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

ステップ 7.2.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

ステップ 7.2.2.1.2

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

ステップ 7.2.2.1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.2.2.1

$\ln (x^{2}) x + C x$ の因数を並べ替えます。

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

ステップ 7.2.2.1.2.2.2

$x \ln (x^{2})$ と $C x$ を並べ替えます。

$y = C x + x \ln (x^{2})$

微分積分 例

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